Matrice și Sisteme BAC

Matrice și Sistemede Ecuații Liniare

Stăpânește operațiile cu matrice, determinanții și sistemele de ecuații liniare. Metode clare pentru toate tipurile de probleme BAC.

Matrice - Noțiuni de Bază

O matrice este un tablou dreptunghiular de numere organizate în linii și coloane.

Notații și Definiții

  • • A = (aᵢⱼ)ₘₓₙ - matrice cu m linii și n coloane
  • • Mₘₓₙ(ℝ) - mulțimea matricelor m×n cu elemente reale
  • • Matrice pătratică - m = n (același număr de linii și coloane)
  • • Matrice unitate Iₙ - pe diagonala principală sunt 1, restul 0

Operații cu Matrice

Adunarea Matricelor

(A + B)ᵢⱼ = aᵢⱼ + bᵢⱼ

Se adună element cu element

Condiție: A și B să aibă aceleași dimensiuni

Înmulțirea cu un Scalar

(λA)ᵢⱼ = λ · aᵢⱼ

Se înmulțește fiecare element cu scalarul λ

Înmulțirea Matricelor

(AB)ᵢⱼ = Σₖ aᵢₖ · bₖⱼ

Condiție: numărul de coloane din A = numărul de linii din B

Atenție: A·B ≠ B·A (în general, înmulțirea nu este comutativă)

Determinanții

Determinantul de ordin 2

Pentru matricea A = [a b; c d]:

det(A) = ad - bc

Determinantul de ordin 3 (Regula lui Sarrus)

Pentru matricea 3×3:

det(A) = a₁₁a₂₂a₃₃ + a₁₂a₂₃a₃₁ + a₁₃a₂₁a₃₂
         - a₁₃a₂₂a₃₁ - a₁₁a₂₃a₃₂ - a₁₂a₂₁a₃₃

Proprietăți ale Determinanților

  • • det(AB) = det(A) · det(B)
  • • det(A^T) = det(A)
  • • det(λA) = λⁿ · det(A) pentru matricea n×n
  • • A este inversabilă ⟺ det(A) ≠ 0

Sisteme de Ecuații Liniare

Forma Matriceală

Un sistem liniar AX = B se poate scrie matriceal:

A · X = B

unde A = matricea coeficienților, X = vectorul necunoscutelor, B = vectorul termenilor liberi

Metoda lui Cramer

Pentru sisteme cu det(A) ≠ 0:

xᵢ = det(Aᵢ) / det(A)

Aᵢ = matricea A cu coloana i înlocuită cu B

Compatibilitatea

• det(A) ≠ 0 ⟹ soluție unică

• det(A) = 0 ⟹ analizăm rangul

• rang(A) = rang(A|B) ⟹ compatibil

• rang(A) < rang(A|B) ⟹ incompatibil

Strategii pentru Examen

1. Calculul determinanților

Pentru ordin 2: formula directă. Pentru ordin 3: regula lui Sarrus sau dezvoltarea după o linie/coloană.

Sfat: Alege linia/coloana cu cei mai mulți zerouri pentru dezvoltare.

2. Operații cu matrice

Verifică întotdeauna dimensiunile înainte de a efectua operațiile.

Pentru A·B: nr. coloane A = nr. linii B

3. Rezolvarea sistemelor

Pentru sisteme 2×2 sau 3×3 cu det(A) ≠ 0, folosește metoda lui Cramer.

Pasii: 1) Calculezi det(A), 2) Calculezi det(Aᵢ), 3) xᵢ = det(Aᵢ)/det(A)

4. Ecuații matriceale

Pentru AX = B, dacă A este inversabilă: X = A⁻¹B

Relație: A⁻¹ = (1/det(A)) · adj(A)

Continuă pregătirea cu alte capitole importante

Trigonometrie Bacalaureat

Ghid complet pentru trigonometrie BAC: funcții trigonometrice, identități, ecuații și aplicații practice.

Algebră Bacalaureat

Toate conceptele de algebră pentru BAC: ecuații, inecuații, sisteme și demonstrații matematice.

Numere Complexe BAC

Înțelege numerele complexe: forma algebrică, modulul, operații și rezolvarea ecuațiilor complexe.

Matrice și Sisteme BAC

Operații cu matrice, determinanți, metoda Cramer și analiza compatibilității sistemelor liniare.

Funcții și Grafice BAC

Studiul funcțiilor: limite, derivate, monotonie, extreme și tehnici de reprezentare grafică.

Analiză Matematică BAC

Calcul diferențial și integral: limite, derivate, primitive și studiul complet al funcțiilor.