Funcții și Grafice BAC

Funcții și GraficeAnaliză Completă

Stăpânește studiul funcțiilor: monotonie, extreme, limite, derivate și reprezentări grafice. Metode pas cu pas pentru toate tipurile de probleme.

Noțiuni Fundamentale

O funcție f: D → ℝ asociază fiecărui element x din domeniul D un singur element f(x) din ℝ.

Proprietăți Esențiale

  • • Domeniul (Df) - mulțimea valorilor pentru care funcția este definită
  • • Imaginea (Im f) - mulțimea valorilor pe care le poate lua funcția
  • • Graficul - reprezentarea geometrică: Gf = {(x, f(x)) | x ∈ Df}
  • • Zerouri - valorile x pentru care f(x) = 0

Proprietăți ale Funcțiilor

Monotonia

Crescătoare: x₁ < x₂ ⟹ f(x₁) ≤ f(x₂)

Descrescătoare: x₁ < x₂ ⟹ f(x₁) ≥ f(x₂)

Se verifică prin derivata sau direct din definiție

Paritatea

Pară: f(-x) = f(x)

Impară: f(-x) = -f(x)

Graficul funcției pare e simetric față de Oy

Graficul funcției impare e simetric față de origine

Periodicitatea

f(x + T) = f(x) pentru orice x ∈ Df

T = perioada funcției (cel mai mic număr pozitiv)

Mărginirea

Mărginită superior: ∃M: f(x) ≤ M

Mărginită inferior: ∃m: f(x) ≥ m

Mărginită = mărginită și superior și inferior

Limite și Continuitate

Limite Fundamentale

lim(x→a) f(x) = L

Limita în punctul a

lim(x→∞) f(x) = L

Limita la infinit

Forme Nedeterminate

0/0

Se factorizează

∞/∞

Se împarte prin gradul cel mai mare

∞ - ∞

Se raționalizează

Asimptote

  • • Verticale: x = a dacă lim(x→a±) f(x) = ±∞
  • • Orizontale: y = b dacă lim(x→±∞) f(x) = b
  • • Oblice: y = mx + n dacă m = lim(x→∞) f(x)/x și n = lim(x→∞) [f(x) - mx]

Derivate și Studiul Funcțiilor

Derivate Fundamentale

(xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹

(eˣ)' = eˣ

(ln x)' = 1/x

(sin x)' = cos x

(cos x)' = -sin x

(tg x)' = 1/cos²x

Monotonia prin Derivată

• f'(x) > 0 ⟹ f crescătoare

• f'(x) < 0 ⟹ f descrescătoare

• f'(x) = 0 ⟹ punct critic

Extreme

• Maximum: f'(x) trece de la + la -

• Minimum: f'(x) trece de la - la +

• f''(x₀) < 0 ⟹ maximum local

• f''(x₀) > 0 ⟹ minimum local

Convexitatea

• f''(x) > 0 ⟹ funcția este convexă (concavă în sus)

• f''(x) < 0 ⟹ funcția este concavă (concavă în jos)

• f''(x) = 0 ⟹ posibil punct de inflexiune

Schema de Studiu a unei Funcții

1. Domeniul de definiție

Identifică restricțiile: rădăcini de ordin par, numitorul ≠ 0, logaritmi cu argumentul > 0.

2. Simetrii și periodicitate

Verifică paritatea (f(-x) = ±f(x)) și periodicitatea (f(x+T) = f(x)).

3. Limite și asimptote

Calculezi limitele la capetele domeniului și identifici asimptotele.

4. Derivata și monotonia

Calculezi f'(x), găsești zerourile și studiezi semnul pentru monotonie.

5. Extreme și convexitate

Identifici extremele locale prin f'(x₀) = 0 și studiezi f''(x) pentru convexitate.

6. Puncte remarcabile și graficul

Găsești intersecțiile cu axele și desenezi graficul folosind toate informațiile.

Explorează alte capitole esențiale pentru BAC

Trigonometrie Bacalaureat

Ghid complet pentru trigonometrie BAC: funcții trigonometrice, identități, ecuații și aplicații practice.

Algebră Bacalaureat

Toate conceptele de algebră pentru BAC: ecuații, inecuații, sisteme și demonstrații matematice.

Numere Complexe BAC

Înțelege numerele complexe: forma algebrică, modulul, operații și rezolvarea ecuațiilor complexe.

Matrice și Sisteme BAC

Operații cu matrice, determinanți, metoda Cramer și analiza compatibilității sistemelor liniare.

Funcții și Grafice BAC

Studiul funcțiilor: limite, derivate, monotonie, extreme și tehnici de reprezentare grafică.

Analiză Matematică BAC

Calcul diferențial și integral: limite, derivate, primitive și studiul complet al funcțiilor.