Concepte avansate de analiză matematică: limite, derivate, integrale și studiul complet al funcțiilor. Pregătirea perfectă pentru clasa a XII-a.
Un șir (aₙ) este convergent către limita l dacă:
lim(n→∞) aₙ = l ⟺ ∀ε > 0, ∃n₀: ∀n ≥ n₀ ⟹ |aₙ - l| < ε
lim(x→0) (sin x)/x = 1
lim(x→0) (1-cos x)/x² = 1/2
lim(x→∞) (1 + 1/x)ˣ = e
lim(x→0) (eˣ - 1)/x = 1
lim(x→0) ln(1+x)/x = 1
• Factorizare pentru forma 0/0
• Împărțire prin cea mai mare putere pentru ∞/∞
• Raționalizare pentru diferențe de radicali
• Substituții și limite remarcabile
Derivata funcției f în punctul x₀:
f'(x₀) = lim(h→0) [f(x₀+h) - f(x₀)]/h
(f ± g)' = f' ± g'
(f · g)' = f'g + fg'
(f/g)' = (f'g - fg')/g²
(f ∘ g)' = f'(g) · g'
• Monotonia: f'(x) > 0 ⟹ crescătoare
• Extreme: f'(x₀) = 0
• Tangenta: y = f'(x₀)(x-x₀) + f(x₀)
• Aproximări: f(x) ≈ f(a) + f'(a)(x-a)
Dacă f continuă pe [a,b], derivabilă pe (a,b) și f(a) = f(b), atunci ∃c ∈ (a,b): f'(c) = 0
∃c ∈ (a,b): f'(c) = [f(b) - f(a)]/(b - a)
∫ f(x)dx = F(x) + C, unde F'(x) = f(x)
F(x) = primitiva funcției f(x), C = constanta de integrare
∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C
∫ eˣ dx = eˣ + C
∫ 1/x dx = ln|x| + C
∫ sin x dx = -cos x + C
∫ cos x dx = sin x + C
• Substituția: ∫ f(g(x))g'(x)dx
• Prin părți: ∫ u dv = uv - ∫ v du
• Descompunere în fracții simple
• Integrare prin recurență
Formula Newton-Leibniz:
∫ₐᵇ f(x)dx = F(b) - F(a)
Interpretare geometrică: aria cuprinsă între graficul funcției și axa Ox
Identifică restricțiile și punctele de discontinuitate
Calculează limitele la capetele domeniului și identifică asimptotele
Calculează f'(x) și studiază semnul pentru monotonie
Găsește punctele critice și clasifică-le folosind f''(x)
Studiază semnul lui f''(x) pentru convexitate
Sinteza toate informațiile pentru a trasa graficul
Găsirea maximului/minimului unei funcții pe un interval dat folosind derivata.
Aria între curbe sau între o curbă și axa Ox folosind integrala definită.
Studiul existenței soluțiilor în funcție de parametru folosind proprietățile funcțiilor.
Folosirea monotoniei și a valorilor extreme pentru demonstrarea inegalităților.
Ghid complet pentru trigonometrie BAC: funcții trigonometrice, identități, ecuații și aplicații practice.
Toate conceptele de algebră pentru BAC: ecuații, inecuații, sisteme și demonstrații matematice.
Înțelege numerele complexe: forma algebrică, modulul, operații și rezolvarea ecuațiilor complexe.
Operații cu matrice, determinanți, metoda Cramer și analiza compatibilității sistemelor liniare.
Studiul funcțiilor: limite, derivate, monotonie, extreme și tehnici de reprezentare grafică.
Calcul diferențial și integral: limite, derivate, primitive și studiul complet al funcțiilor.